Pequeña introdución al álgebra geométrica

Operaciones del cálculo vectorial y su simplificación

Supongo que el lector sabe que el cálculo vectorial añade dos operaciones a las propias de un espacio vectorial. Las operaciones propias de un espacio vectorial son el producto por un escalar ($\lambda a$) y la suma de vectores ($a+b$). Las añadidas por el cálculo vectorial son el producto escalar ($a\cdot b$) y el producto vectorial ($a\times b$).

¿Existirá alguna manera de simplificar este esquema volviendo únicamente a dos operaciones? Bueno, es fácil sobrecargar el producto para que, si uno de sus factores es escalar, se comporte como el producto por un escalar. Ahora queda pensar en cómo aglutinar el producto escalar y el vectorial. La idea básica surge de la forma en la que estos productos tratan los vectores proporcionales y ortogonales.

$a$ y $b_\parallel$ son proporcionales	$a\cdot b_\parallel=b_\parallel\cdot a$	$a\times b_\parallel=0$
$a$ y $b_\bot$ son ortogonales	$a\cdot b_\bot=0$	$a\times b_\bot=-b_\bot\times a$

Como todo vector puede ser descompuesto en una parte proporcional y otra ortogonal, lo que tenemos al final es que si $b=b_\parallel+b_\bot$ $$a\cdot b=a\cdot (b_\parallel+b_\bot )=a\cdot b_\parallel+a\cdot b_\bot=a\cdot b_\parallel+0=a\cdot b_\parallel$$ $$a\times b=a\times (b_\parallel+b_\bot )=a\times b_\parallel+a\times b_\bot=0+a\times b_\bot=a\times b_\bot$$ Si de alguna manera el nuevo producto fuera similar a una suma de tanto el producto escalar como el producto vectorial, podríamos unificarlos en un mismo producto simplificado al que llamaremos producto geométrico. $$ab=a(b_\parallel+b_\bot )=ab_\parallel+ab_\bot$$ Donde la parte $ab_\parallel$ estará relacionada con el producto escalar y la parte $ab_\bot$ con el producto vectorial. Lo único que hemos requerido es la propiedad distributiva que, de todas las maneras, debe tener un producto lineal.

Debido a que queremos que la parte $ab_\parallel$ siga las propiedades del producto escalar, tendrá que ser simétrica; y debido a que queremos que la parte $ab_\bot$ siga las propiedades del producto vectorial, tendrá que ser antisimétrica: $$ab_\parallel=b_\parallel a$$ $$ab_\bot=-b_\bot a$$ Y, a partir de ellas llegamos a: $$ba=(b_\parallel+b_\bot )a=b_\parallel a+b_\bot a=ab_\parallel-ab_\bot$$ Este resultado es muy interesante ya que nos va a permitir obtener la parte relacionada con el producto escalar y la parte relacionada con el producto vectorial a partir del nuevo producto geométrico. $$ab+ba=2ab_\parallel$$ $$ab-ba=2ab_\bot$$ Esta es la idea. Sustituimos dos productos por uno del que, de la forma arriba vista, puede volver a extraerse la información de cada uno de esos dos productos iniciales.

Definiendo el producto geométrico

La forma usual que tenemos de analizar una operación en un espacio vectorial es descomponiendo los vectores como una combinación lineal de los vectores de una base. Bastará ver cómo opera el producto con estos vectores de la base.
Cuando una base $\{e_1,e_2,e_3\}$ de un espacio vectorial $V$ es ortonormal el producto escalar se comporta tal como se expresa en la siguiente tabla de Cayley.

$\cdot$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
$e_1$	$1$	$0$	$0$
$e_2$	$0$	$1$	$0$
$e_3$	$0$	$0$	$1$

Esta tabla de Cayley no es más que la abreviatura de $$e_1\cdot e_1=1,e_1\cdot e_2=0,e_1\cdot e_3=0$$ $$e_2\cdot e_1=0,e_2\cdot e_2=1,e_2\cdot e_3=0$$ $$e_3\cdot e_1=0,e_3\cdot e_2=0,e_3\cdot e_3=1$$ Por otra parte, el producto vectorial tiene los siguientes resultados para una base orientada hacia la derecha:

$\times$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
$e_1$	$0$	$e_3$	$e_2$
$e_2$	$-e_3$	$0$	$e_1$
$e_3$	$-e_2$	$-e_1$	$0$

Es importante resaltar aquí que el $0$ es el vector nulo y no el escalar nulo.

En el caso del producto geométrico vamos a tener una mezcla de ambos tipos de producto, con ciertas particularidades. La primera es que incluimos el $1$ como un componente de la base, ya que queremos subsumir el producto por escalar en el producto geométrico. Esto diluye la diferencia entre el cero escalar y el cero vectorial. El resultado es la siguiente tabla de Cayley.

	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
$1$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
$e_1$	$e_1$	$1$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$
$e_2$	$e_2$	$e_2 e_1=-e_1 e_2$	$1$	$e_2 e_3$
$e_3$	$e_3$	$e_3 e_1=-e_1 e_3$	$e_3 e_2=-e_2 e_3$	$1$

Ahora tenemos que pensar qué hacemos con los valores $e_1 e_2$, $e_1 e_3$ y $e_2 e_3$. En el producto vectorial las operaciones con la forma $e_1\times e_2=e_3$ daban como resultado un vector. Sin embargo, hacer esto con el producto geométrico nos lleva a perder la propiedad asociativa. Si $e_1 e_2 = e_3$ lo que tenemo es $$e_1 (e_1 e_2 )=e_1 e_3\ne e_2=(e_1 e_1 ) e_2$$ Como la propiedad asociativa es necesaria para emular tanto el producto escalar como el vectorial, lo que vamos a hacer es tratar los valores $e_1 e_2$, $e_1 e_3$ y $e_2 e_3$ como fundamentales. No se pueden simplificar. En ese sentido son como $e_1$,$e_2$ y $e_3$ o, también, la propia unidad escalar $1$. Es decir, serán componentes de la base del espacio vectorial sobre el que va a operar el producto geométrico. Llamaremos a este espacio $\Lambda(V)$ donde $V$ es el espacio original.

Las signaturas del producto escalar, vectorial y geométrico son: $$\_\cdot\_:V\times V \to \mathbb{K}$$ $$\_\times\_ : V\times V \to V$$ $$\_\ \_:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\to\Lambda(V)$$
Ahora bien, ¿qué componentes tendrá la base de este espacio $\Lambda(V)$? ¿Faltará alguno más? Podemos volver a repetir el producto sobre $e_1 e_2$ y obtener cosas como $e_1 e_3 e_2$ o $e_2 e_3 e_1 e_2$, lo que ocurre es que al final se simplifican o bien a $e_1 e_2 e_3$ o a otra de las combinaciones vistas hasta ahora. Lo único que se requiere es asociatividad y la propiedad de elemento neutro escalar $1A=A$. $$e_1 e_3 e_2=e_1 (e_3 e_2 )=-e_1 (e_2 e_3 )=-e_1 e_2 e_3$$ $$e_2 e_3 e_1 e_2=-e_2 e_3 e_2 e_1=e_2 e_2 e_3 e_1=1e_3 e_1=e_3 e_1$$ Así que, el nuevo espacio vectorial $\Lambda(V)$ donde opera el producto geométrico tendrá la siguiente base. $$\{1,e_1,e_2,e_3,e_1 e_2,e_1 e_3,e_2 e_3,e_1 e_2 e_3 \}$$ Por ejemplo: El valor $5+4e_1-7e_1 e_3$ es un vector de este espacio. Sus coeficientes en la base de arriba serían $(5,4,0,0,0,-7,0,0)$.

Notaremos los elementos de $\Lambda(V)$ con letras mayúsculas $A,B,C$ mientras que continuamos usando las minúsculas $a,b,c$ para los elementos de $V$ y las griegas $\alpha, \beta, \gamma$ para los escalares.

El producto geométrico es cerrado sobre el espacio $\Lambda(V)$ que, a su vez, contiene el espacio $V$ como subespacio vectorial con su base $\{e_1,e_2,e_3 \}$. La tabla que define el producto geométrico es la que sigue, aunque no es más que lo que hemos visto hasta ahora ampliado a la base completa.

	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$
$1$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$
$e_1$	$e_1$	$1$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2 e_3$	$e_2 e_3$
$e_2$	$e_2$	$-e_1 e_2$	$1$	$e_2 e_3$	$-e_1$	$-e_1 e_2 e_3$	$e_3$	$-e_1 e_3$
$e_3$	$e_3$	$-e_1 e_3$	$-e_2 e_3$	$1$	$e_1 e_2 e_3$	$-e_1$	$-e_2$	$e_1 e_2$
$e_1 e_2$	$e_1 e_2$	$-e_2$	$e_1$	$e_1 e_2 e_3$	$-1$	$-e_2 e_3$	$e_1 e_3$	$-e_3$
$e_1 e_3$	$e_1 e_3$	$-e_3$	$-e_1 e_2 e_3$	$e_1$	$e_2 e_3$	$-1$	$-e_1 e_2$	$e_2$
$e_2 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$	$-e_3$	$e_2$	$-e_1 e_3$	$e_1 e_2$	$-1$	$-e_1$
$e_1 e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$	$e_2 e_3$	$-e_1 e_3$	$e_1 e_2$	$-e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-1$

Esta tabla (o las propiedades vistas con anterioridad) nos va a servir para calcular el producto geométrico sobre cualquier elemento del nuevo espacio vectorial ampliado.
$$(5+4e_1-7e_1 e_3 )(e_2+e_1 e_2 e_3 )=5e_2+5e_1 e_2 e_3+4e_1 e_2+4e_2 e_3+7e_1 e_2 e_3-7e_2=$$
$$=-2e_2+4e_1 e_2+4e_2 e_3+12e_1 e_2 e_3$$
Curiosamente, el valor $e_1 e_2 e_3$ cumple que $(e_1 e_2 e_3 )^2=-1$. Por similitud con la unidad imaginaria se nota con $I=e_1 e_2 e_3$ y se le da el nombre de pseudoescalar. Si nos restringimos a vectores de $\Lambda(V)$ de la forma $\alpha+\beta I$, todo el cálculo complejo aparece en este subespacio.
Así que el producto geométrico no sólo aúna los productos escalares y vectoriales, sino que también los números complejos.

Sorpresas algebraicas

El producto geométrico de un vector $a$ de $V$ por sí mismo es un escalar, y además positivo. Obviamente, llamaremos esta multiplicación por sigo mismo, potenciar al cuadrado. $$a^2=(\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3 )(\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3 )=\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2$$ Eso significa que se puede definir la inversa de un vector respecto al producto geométrico. $$a^{-1}=a/a^2$$ Se comprueba que, efectivamente, es una inversa. Basta con tener cuidado de saber que $a^2$ es un escalar y por eso podemos calcular $1/a^2$ en el cuerpo de $V$.

Aunque todos los vectores no nulos de $V$ tienen inversa, no todos los elementos del espacio completo $\Lambda(V)$ tienen inversa. Por ejemplo, $1+e_1$ no la tiene ya que es un divisor de cero $(1+e_1 )(1-e_1 )=1-e_1+e_1-1=0$. Si tuviera inversa llegaríamos a que $1-e_1=0$ lo cual es contradictorio.

Un uso inmediato de la inversa de vectores es la obtención de la parte proporcional y la parte ortogonal de un vector respecto a otro. $$b_\parallel=a^{-1} ab_\parallel=a^{-1} (ab+ba)/2$$ $$b_\bot=a^{-1} ab_\bot=a^{-1} (ab-ba)/2$$ Podemos seguir potenciando vectores $a^k=aa^(k-1)$. Sin embargo, nos encontramos con una propiedad muy interesante cuando potenciamos cualquier elemento de la base de $\Lambda(V)$.

$E=$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$
$E^0=$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$E^1=$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$
$E^2=$	$1$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$
$E^3=$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$-e_1 e_2$	$-e_1 e_3$	$-e_2 e_3$	$-e_1 e_2 e_3$
$E^4=$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$E^5=$	$1$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_1 e_2$	$e_1 e_3$	$e_2 e_3$	$e_1 e_2 e_3$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$

Así que, para los elementos de una base ortonormal de $\Lambda(V)$, $$E^k=E^{k+4}$$ Y, en concreto, se pueden definir las potencias negativas de estos elementos mediante esta propiedad. Desafortunadamente, aunque existe sin problemas, la expresión general de potenciación es bastante más tediosa y no cumple la propiedad de involución arriba vista. Por ejemplo, $(1+e_1 )^k=2^k (1+e_1 )$.

Tener un producto geométrico cerrado en $\Lambda(V)$ permite definir la exponencial en este espacio. $$\exp(A)=\sum_i{\frac{A^i}{i!}}$$ Es fácil comprobar que $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$. Además, gracias a la involución de los vectores de la base de $\Lambda(V)$ llegamos a las siguientes ecuaciones: $$\exp(\alpha)=\cosh(\alpha )+1 \sinh(\alpha )=e^α$$ $$\exp(\alpha e_i )=\cosh(\alpha )+ e_i \sinh(\alpha )$$ $$\exp(\alpha e_i e_j )=\cos(\alpha )+e_i e_j \sin(\alpha )$$ $$\exp(\alpha I)=\cos(\alpha )+I \sin(\alpha )$$ Esta última expresión no es otra que la fórmula de Euler. Además, la penúltima expresión nos da a entender que los elementos de la forma $\exp (\alpha e_i e_j )$ tienen algo que ver con las rotaciones.

Como ocurría con la potenciación, la exponenciación de elementos generales de $\Lambda(V)$ no es inmediata y requiere bastantes cálculos. Sin embargo, para vectores $$\exp \left(\sum_{i=1}^3{\alpha_i e_i}\right)=\prod_{i=1}^3{[\cosh (\alpha_i )+e_i \sinh (\alpha_i ) ]}$$

Sorpresas geométricas

Probemos a usar $\exp(\alpha e_1 e_2 )$ para intentar rotar un vector con la intuición que hemos ganado arriba. En el caso de $\alpha=\pi/2$ la expresión de arriba nos dará $$\exp \left(\frac{\pi}{2} e_1 e_2 \right)=e_1 e_2=R$$ Este valor $R$ no rota de por sí un vector. Sin embargo, la expresión $–RaR$ sí consigue lo que queríamos, aunque el ángulo de la rotación es el doble (debido a que hay dos $R$).

Por ejemplo, en el caso de querer rotar $e_3$, si estamos rotando en el plano formado por $e_1 e_2$, el resultado ha de ser invariante. Efectivamente: $$-Re_3 R=-e_1 e_2 e_3 e_1 e_2=-e_1 e_2 e_1 e_2 e_3=e_3$$ Por otra parte, rotar un vector $a$ en el plano $e_1 e_2$ media vuelta debe ponerlo en la posición $-a$. $$-RaR=-e_1 e_2 (\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2 ) e_1 e_2=-(\alpha_1 e_1 e_2 e_1 e_1 e_2+\alpha_2 e_1 e_2 e_2 e_1 e_2 )=-a$$ Así que la expresión para rotar un ángulo $\theta$ un vector $a$ en el plano formado por los vectores ortonormales $b$ y $c$ es $$-\exp\left(\frac{\theta}{2}bc\right)a \exp\left(\frac{\theta}{2} bc\right)=-RaR$$
Simple.

¿Qué ocurre si en vez de usar un valor $R=bc$ usamos un $R=b$? Lo que obtenemos entonces es una reflexión. Es sencillo observar que si $R=e_1$ entonces $$R e_1 R=e_1,R e_2 R=-e_2,R e_3 R=-e_3$$ $$RaR=R(\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\alpha_3 e_3 )R=\alpha_1 e_1-\alpha_2 e_2-\alpha_3 e_3$$ Esto último no es más que la simetría en el eje de la dirección $e_1$. Se puede generalizar a cualquier vector unitario y, además, coincide con la idea intuitiva de que una rotación es equivalente a dos reflexiones.

Pensamientos finales

Quedan muchas más cosas por descubrir en el álgebra y el cálculo geométrico. Por ejemplo, se unifican los operadores diferenciales de gradiente, divergencia y rotacional a un único operador diferencial que los engloba. Sin embargo, este artículo ya está quedando largo y sólo me queda dirigir al lector a la Wikipedia y los libros que allí se referencian.