lunes, 7 de junio de 2010

Suma de señales sinusoidales de la misma frecuencia

Hoy me han preguntado sobre qué pasa cuando se suman señales sinusoidales de la misma frecuencia. La respuesta es que el resultado es otra señal sinusoidal de la misma frecuencia, sea cual sea la fase o amplitud de las originales.
Todo se reduce a una pequeña demostración.
[$$ \sum_{i=1}^N{k_i\cos{(\phi_i+\omega t)}}
$$] [$$ =\sum_{i=1}^N{k_i\frac{e^{\phi_i+\omega t}+e^{-(\phi_i+\omega t)}}{2}}
$$] [$$ =\sum_{i=1}^N{\frac{k_ie^{\phi_i}e^{\omega t}+k_ie^{-\phi_i}e^{-\omega t}}{2}}
$$] [$$ =\frac{(\sum_{i=1}^N{k_ie^{\phi_i})e^{\omega t}+(\sum_{i=1}^N{k_ie^{-\phi_i})e^{-\omega t}}}}{2}
$$] [$$ =\frac{Ke^\phi e^{\omega t}+Ke^{-\phi} e^{-\omega t}}{2}
$$] [$$ =K \cos{(\phi +\omega t)}
$$]
El truco está en el momento en el que transformamos el sumatorio de los coeficientes y las fases en forma compleja a un único valor complejo que, al final, termina siendo la amplitud y fase finales. La única salvedad es que las amplitudes han de ser reales.
Todo esto lleva a la definición de fasor que permite trabajar con señales sinusoidales como si fueran valores complejos.

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