Por qué no sumar FPS y la ley de Amdahl

Hace poco leí de un desarrollador de videojuegos algo así como "cuando uso el nuevo método, pierdo 30 FPS". Los FPS son los fotogramas por segundo. Es decir, son una frecuencia. Generalmente la suma y las frecuencias se llevan mal y este es un buen ejemplo de por qué no es válido sumar.

Pantalla del Crysis con grandes cantidades de vegetación que ralentizan el renderizado bajando los FPS a lo mínimo imprescindible para que la vista sea suave: 26, la cifra en la esquina superior derecha. El estándar de cine es de 24 FPS, pero las imágenes suelen contener movimiento. Generalmente esto es muy costoso de conseguir en tiempo real por lo que en los videojuegos el resultado es más brusco a esa misma tasa de fotogramas.

Al trabajar con frecuencias contamos cuántas veces podemos realizar una operación que dura [$ t $] segundos. La frecuencia será precisamente
[$$ f=\frac{1}{t} $$]
Si añado algo a esa operación, me durará lo que duraba antes más el añadido [$ t+a $]. La nueva frecuencia será
[$$ f_a=\frac{1}{t+a} $$]

Generalmente no añadimos o quitamos nada. Simplemente, al cambiar una parte de nuestra operación, ésta se hace más larga o más corta. Es lo que pasaba con el desarrollador de videojuegos que cambiaba la manera de hacer algo y cambiaba su frecuencia de desempeño.

Supongamos que de todo ese tiempo [$ t $] solamente la fracción [$ p $] es la parte que tocamos. Esto quiere decir que la parte tarda en ejecutarse [$ tp $] y todo lo que no es la parte cambiada es [$ t(1-p) $].

El cambio que hago será probablemente una mejora. Si antes de la mejora tardaba [$ tp $] en realizar la operación de la parte a cambiar, después de una mejora de [$s$] veces tardará [$s$] veces menos. Es decir,

[$$ \frac{tp}{s} $$]

Como bien se sabe, en computación mejorar es ir más rápido haciendo algo. Tardamos menos tiempo así que dividimos. Ir el doble de rápido significa tardar la mitad.

Ahora voy a sumar los tiempos que tardo en la parte no mejorada y la parte mejorada. Es esta expresión:

[$$ \frac{tp}{s}+t(1-p) = t\left( \frac{p}{s} + (1-p) \right)$$]

Finalmente voy a obtener en vez del tiempo que tardo en hacer la operación completa, cuántas veces voy a poder realizarla. Esto es la frecuencia con mejora [$ f_s $].

[$$ f_s = \frac{1}{ t\left( \frac{p}{s} + (1-p) \right) } $$]

Afortunadamente podemos expresar esta frecuencia con mejora en función de la frecuencia sin mejora.

[$$ f_s = f \frac{1}{ \frac{p}{s} + (1-p) } $$]

El factor de mejora no es una suma como decía el desarrollador de videojuegos al hablar de FPS. El factor de mejora es una constante multiplicativa. Precisamente es

[$$ A =  \frac{1}{ \frac{p}{s} + (1-p) } $$]

Esta expresión es la conocida Ley de Amdahl y el factor que calcula puede escribirse como un tanto por ciento. Habría sido más correcto entonces que el desarrollador de videojuegos hubiese dicho que perdía el 30% de rendimiento con el nuevo método.