Magia circular

Los números complejos siempre me han parecido maravillosos. Descubro nuevas propiedades una y otra vez. La que traigo hoy es simple y misteriosa.

Supongamos que tengo una circunferencia $C$ formada por los elementos $z\in C$. Entonces si hago la inversa de sus elementos, el conjunto que obtengo $C'=\{1/z\mid z\in C\}$ es también una circunferencia.

La demostración se me ha resistido un poco, pero una vez descubierta, es hasta sencilla. Sea $c$ el centro del círculo y $R\ge 0$ su radio. $$|z-c|=R$$ $$|z-c|^2=R^2$$ $$(z-c)(z-c)^*=R^2$$ $$zz^*-cz^*-c^*z+cc^*=R^2$$ Ahora hago $w=1/z$ por lo que llego a $$\frac{1}{w} \frac{1}{w^*}-c \frac{1}{w^*} -c^* \frac{1}{w} +cc^*=R^2$$ Si asumo que $w\ne 0$, es decir, $z<\infty$, llego a $$1-c w -c^*w^* +cc^*ww^*=R^2ww^*$$ Reordenando un poco $$1-c w -c^*w^* +(cc^*- R^2 )ww^*=0$$ Y si asumo que $cc^*\ne R^2$ (es decir $|c|\ne R$) llego hasta $$ww^*-\frac{c w}{cc^*- R^2}-\frac{c^*w^*}{ (cc^*- R^2)^2 } + \frac{1}{ cc^*- R^2 } =0$$ $$\left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right) \left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right)^*-\frac{cc^*}{ (cc^*- R^2)^2 } + \frac{1}{ cc^*- R^2 } =0$$   $$\left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right) \left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right)^* = \frac{R^2}{(cc^*- R^2)^2 }$$ ¡Y ya lo tenemos! $$\left|w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right|^2  = \frac{R^2}{ (cc^*- R^2)^2 }$$   $$\left|w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right|  = \frac{R}{ cc^*- R^2 }$$
La nueva circunferencia tiene de centro $\frac{c^*}{cc^*- R^2}$ y de radio $\frac{R}{ cc^*- R^2 }$.

Para los curiosos, las hipótesis de que $z<\infty$ y que $|c|\ne R$ aparecen porque estamos restringiéndonos a circunferencias. Si no las tomamos, llegamos a que circunferencias o rectas se transforman en circunferencias o rectas. Las rectas pueden ser vistas comocircunferencias con el centro en el infinito y por tanto se dice que transformamos circunferencias generalizadas en circunferencias generalizadas.

La mejor forma de ver esto es mediante la esfera de Riemann, pero ya lo dejamos para otro día.