lunes, 21 de octubre de 2013

Magia circular

Los números complejos siempre me han parecido maravillosos. Descubro nuevas propiedades una y otra vez. La que traigo hoy es simple y misteriosa.

Supongamos que tengo una circunferencia [$C$] formada por los elementos [$z\in C$]. Entonces si hago la inversa de sus elementos, el conjunto que obtengo [$C'=\{1/z\mid z\in C\}$] es también una circunferencia.

La demostración se me ha resistido un poco, pero una vez descubierta, es hasta sencilla. Sea [$c$] el centro del círculo y [$R\ge 0$] su radio.[$$|z-c|=R$$][$$|z-c|^2=R^2$$] [$$(z-c)(z-c)^*=R^2$$][$$zz^*-cz^*-c^*z+cc^*=R^2$$]Ahora hago [$w=1/z$] por lo que llego a [$$\frac{1}{w} \frac{1}{w^*}-c \frac{1}{w^*} -c^* \frac{1}{w} +cc^*=R^2$$] Si asumo que [$w\ne 0$], es decir, [$z<\infty$], llego a [$$1-c w -c^*w^* +cc^*ww^*=R^2ww^*$$]Reordenando un poco [$$1-c w -c^*w^* +(cc^*- R^2 )ww^*=0$$] Y si asumo que [$cc^*\ne R^2$] (es decir [$|c|\ne R$]) llego hasta [$$ww^*-\frac{c w}{cc^*- R^2}-\frac{c^*w^*}{ (cc^*- R^2)^2 } + \frac{1}{ cc^*- R^2 } =0$$] [$$\left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right) \left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right)^*-\frac{cc^*}{ (cc^*- R^2)^2 } + \frac{1}{ cc^*- R^2 } =0$$]  [$$\left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right) \left(w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right)^* = \frac{R^2}{(cc^*- R^2)^2 }$$] ¡Y ya lo tenemos! [$$\left|w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right|^2  = \frac{R^2}{ (cc^*- R^2)^2 }$$]  [$$\left|w-\frac{c^*}{cc^*- R^2}\right|  = \frac{R}{ cc^*- R^2 }$$]
La nueva circunferencia tiene de centro [$ \frac{c^*}{cc^*- R^2}$] y de radio [$ \frac{R}{ cc^*- R^2 } $].

Para los curiosos, las hipótesis de que [$z<\infty$] y que [$|c|\ne R$] aparecen porque estamos restringiéndonos a circunferencias. Si no las tomamos, llegamos a que circunferencias o rectas se transforman en circunferencias o rectas. Las rectas pueden ser vistas comocircunferencias con el centro en el infinito y por tanto se dice que transformamos circunferencias generalizadas en circunferencias generalizadas.

La mejor forma de ver esto es mediante la esfera de Riemann, pero ya lo dejamos para otro día.

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