Predicativo e impredicativo

Veamos esta fórmula de la lógica de primer orden

[$$ \forall y.y \lt x $$]

Podríamos verla como un predicado

[$$ P(x) \equiv \forall y.y \lt x $$]

Ahora veamos esta fórmula de la lógica de segundo orden

[$$ \forall Q.Q(x) $$]

También podríamos verla como un predicado

[$$ R(x) \equiv \forall Q.Q(x) $$]

Pero R(x) dice que todos los predicados Q cumplen Q(x) ¡incluido R(x)!

Así que factorizamos ese término para que se vea bien.

[$$ R(x) \equiv R(x) \wedge \forall Q.Q(x) $$]

Esto no pasaba con la lógica de primer orden porque la y en

[$$ \forall y.y<x $$]

sólo puede ser un elemento del dominio. Cuando ocurre esto, se dice que es un sistema predicativo. Cuando ocurre lo de la lógica de segundo orden, el sistema es impredicativo (habla de sí mismo).

Los sistemas impredicativos son una puerta a los problemas. Si hubiéramos definido por ejemplo

[$$ R(x) \equiv \forall Q.\neg Q(x) $$]

Podríamos especializar en

[$$ R(x) \equiv \neg R(x) \wedge \forall Q.\neg Q(x) $$]

Así que R(x) es cierta cuando R(x) es falsa... Mal rollo, ¿no?