martes, 17 de agosto de 2010

Contando alteraciones

Hoy he inventado un pequeño algoritmo musical. Para entenderlo hay que saber un poquito de teoría musical, pero muy poquito. En concreto hay que saber qué es una escala y qué es una alteración.
Escalas, clases de tono y rotaciones binarias
En la música usual se trabaja con doce clases de tono. Es fácil ver que las teclas de un piano repiten su distribución cada doce (siete blancas y cinco negras). De estas doce clases de tono, una escala es un subconjunto de ellas. Representaremos a este conjunto con doce bits. A cero si no está en el conjunto a uno si está.


Por ejemplo, empezando en un DO, las teclas blancas del piano son 101011010101 y las teclas negras (obviamente) su complementario 010100101010. Aquí tenemos nuestras dos primeras escalas: La escala diatónica mayor natural y la escala pentatónica.
La escala mayor, como la hemos empezado en DO, tiene esa tonalidad y por eso es usual decir que es la es cala de DO mayor. Si por ejemplo quisiéramos la escala de RE mayor, deberíamos empezar por la nota RE que está dos teclas a la derecha (dos semitonos y en nuestra notación dos bits) del DO. Sería algo como 00101011010101.
Entonces tenemos catorce bits, y eso no puede ser porque sólo tenemos doce clases de tono. Lo que ocurre es que las clases de tono son cíclicas y por tanto la operación correcta para pasar de la escala en tonalidad de DO a tonalidad de RE es la rotación y no el desplazamiento de bits. Entonces, en vez de poner 00101011010101, rotamos a 011010110101.
Alteraciones, movimiento de bits y distancia
Ahora bien, las escalas musicales tienen una propiedad que se denomina máxima uniformidad. Esto significa que rotar la escala la cambia poco. De hecho, si comparamos la escala en DO (rotación 0) y la escala en RE (rotación de 2 bits) sólo hemos movido dos unos.
101011010101
011010110101
Mover un 1 en esta representación equivale a realizar una alteración musical. Existen dos tipos de alteraciones: sostenido si movemos el uno a la derecha (como en este ejemplo) o bemol si lo movemos a la izquierda. (Nota: Aquí consideramos que doble bemol son dos bemoles y doble sostenido dos sostendios)
Es sensato pensar en definir una distancia entre estas dos tonalidades de la escala mayor. En este ejemplo la distancia sería de dos sostenidos. Ahora queda el problema de definir el algoritmo que obtenga esta distancia.
El algoritmo
Un detalle importante es que si dos unos coinciden, pueden asumirse como no alterados. Por ejemplo:
01100
00110
Es igual pensar en mover cada 1 un bit a la derecha o pensar que el uno común no se mueve y se mueve el primero dos lugares a la derecha. El resultado es siempre el mismo: dos sostenidos.
La primera intención es usar un XOR (diferencia simétrica), pero hemos de saber si movemos a la izquierda o a la derecha por lo que mantendremos un signo.
01100
00110
0+0-0 //XOR con signo
El + significa que ahí hay un 1 a mover a la derecha y el - que hay un 1 a mover a la izquierda. Ahora hemos de contar el número de unos a mover y luego el número de posiciones a mover.
01100
00110
0+0-0 //XOR con signo
01100 // Número de unos que se mueven en cada bit
01222 // Suma de lo de arriba: Número total de posiciones movidas.
Finalmente, para contar sostenidos y bemoles, es mejor llevar dos acumuladores por separados.
011000110
001101100
0+0-0-0+0 //XOR con signo
011000000 // Número de unos que se mueven A LA DERECHA (sostenidos)
000001100 // Número de unos que se mueven A LA IZQUIERDA (bemoles)
012222222 // Suma de sostenidos.
000001222 // Suma de bemoles
Distancia total: 2 sostenidos + 2 bemoles = 4 alteraciones
Caminos conocidos y desconocidos
Si nos ponemos a calcular las distancias entre escalas encontramos algo conocido: el círculo de quintas. El círculo de quintas nos da la distancia entre dos tonalidades distintas de escalas mayores (o menores).
Existen otras escalas exóticas como la mayor doble armónica o la escala alterada cuya distancia no aparece en el círculo de quintas. En este caso el algoritmo de arriba nos dice que, por ejemplo, entre SOL menor y MI mayor doble armónica la distancia es
101101010110 //SOL menor
100111001101 //MI mayor doble armónica
00+0-00+-0+- //XOR con signo
001100010010 //Movimiento de sostenidos

000000000000 //Movimiento de bemoles (no hay)

001222233344 //Sostenidos 4

Así que hay una distancia de cuatro sostenidos.
La única limitación del algoritmo es el número de bits puestos a uno, que debe ser igual en las escalas a comparar. A fin de cuentas, el algoritmo mide alteraciones, y si no hay un bit a uno, no hay nada que alterar.

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