El lío de las composiciones

La composición en las relaciones

Una relación $\le$ entre $A$ y $B$ es un subconjunto del conjunto cartesiano. $$\le \subseteq A\times B$$ Cuando dos elementos $a\in A$ y $b\in B$ están relacionados escribimos $$a \le b \Leftrightarrow (a,b)\in \le$$ La composición de dos relaciones $\le_1$ entre $A$ y $B$; y $\le_2$ entre $B$ y $C$ es $\le_1 \circ \le_2$ definida así $$a \le_1\circ \le_2 c \Leftrightarrow \exists b\in B.a\le_1 b\le_2 c$$ Es interesante ver el parecido natural entre $$a \le_1\circ \le_2 c$$ y $$a\le_1 b\le_2 c$$ como si el $\circ$ representase un elemento indefinido a buscar.

La composición en las funciones

Una función $f:A\to B$ no es más que una relación en la cual $$\forall a\in A.\exists ! b\in B. a f b$$ Para los que no lo hayan visto nunca $\exists !$ significa "existe un único".
Bien, los problemas empiezan porque si existe un único $b$ lo natural es representarlo por $f$ y $a$. La forma de hacerlo es esta: $$f(a)=b \Leftrightarrow a f b$$ ¿Por qué es problemático? Porque si pienso que una función es una relación y defino la composición de funciones como una composición de relaciones obtenemos $$(f\circ g)(a)=g(f(a))$$ Invirtiéndose el orden de $f$ y $g$, lo que lía muchísimo. Así que lo que se hace es definir al revés la composición de funciones. $$(f\circ g)(a)=f(g(a))$$ Por lo que deja de ser igual que la composición de relaciones.

Soluciones

Las que se me ocurren así a bote pronto son:

1. Usar una notación postfija para las funciones $(a)f$ en vez de $f(a)$. De esta manera $(a)(f\circ g)  =((a)f)g$ y el orden coincide con la composición de relaciones.
2. Invertir una de las dos composiciones. O bien $(f\circ g)(a)=g(f(a))$ o bien $a \le_2\circ \le_1 c \Leftrightarrow \exists b\in B.a\le_1 b\le_2 c$. Hagas lo que hagas, estás invirtiendo el orden natural de la notación y vas a liarte (el elemento $a$ va primero a $f$ y a $\le_1$ que están lejos de él).
3. Usar dos notaciones. Por ejemplo, usar $\le_1 ; \le_2 = \le_2 \circ \le_1$ y $f \circ g = g ; f$. Esta solución la suele usar alguno que otro autor.
4. Definir las funciones al revés, $\forall a\in A.\exists ! b\in B. b f a$ de forma que   $b=f(a) \Leftrightarrow b f a$. Claro que también así vamos en contra de unos cuantos siglos de historia y habría que darle la vuelta a muchas definiciones como relaciones inyectivas.