viernes, 17 de junio de 2011

El lío de las composiciones

La composición en las relaciones

Una relación [$\le$] entre [$A$] y [$B$] es un subconjunto del conjunto cartesiano.[$$\le \subseteq A\times B$$]Cuando dos elementos [$a\in A$] y [$b\in B$] están relacionados escribimos [$$ a \le b \Leftrightarrow (a,b)\in \le$$] La composición de dos relaciones [$\le_1$] entre [$A$] y [$B$]; y [$\le_2$] entre [$B$] y [$C$] es [$\le_1 \circ \le_2$] definida así [$$ a \le_1\circ \le_2 c \Leftrightarrow \exists b\in B.a\le_1 b\le_2 c $$] Es interesante ver el parecido natural entre [$$  a \le_1\circ \le_2 c$$] y [$$ a\le_1 b\le_2 c $$] como si el [$\circ$] representase un elemento indefinido a buscar.

La composición en las funciones

Una función [$f:A\to B$] no es más que una relación en la cual [$$\forall a\in A.\exists ! b\in B. a f b $$] Para los que no lo hayan visto nunca [$\exists !$] significa "existe un único".
Bien, los problemas empiezan porque si existe un único [$b$] lo natural es representarlo por [$f$] y [$a$]. La forma de hacerlo es esta: [$$f(a)=b \Leftrightarrow a f b$$] ¿Por qué es problemático? Porque si pienso que una función es una relación y defino la composición de funciones como una composición de relaciones obtenemos [$$ (f\circ g)(a)=g(f(a)) $$] Invirtiéndose el orden de [$f$] y [$g$], lo que lía muchísimo. Así que lo que se hace es definir al revés la composición de funciones. [$$ (f\circ g)(a)=f(g(a)) $$] Por lo que deja de ser igual que la composición de relaciones.

Soluciones

Las que se me ocurren así a bote pronto son:
  1. Usar una notación postfija para las funciones [$(a)f$] en vez de [$f(a)$]. De esta manera [$ (a)(f\circ g)  =((a)f)g$] y el orden coincide con la composición de relaciones.
  2. Invertir una de las dos composiciones. O bien [$ (f\circ g)(a)=g(f(a)) $] o bien [$ a \le_2\circ \le_1 c \Leftrightarrow \exists b\in B.a\le_1 b\le_2 c $]. Hagas lo que hagas, estás invirtiendo el orden natural de la notación y vas a liarte (el elemento [$a$] va primero a [$f$] y a [$\le_1$] que están lejos de él).
  3. Usar dos notaciones. Por ejemplo, usar [$\le_1 ; \le_2 = \le_2 \circ \le_1$] y [$ f \circ g = g ; f $]. Esta solución la suele usar alguno que otro autor.
  4. Definir las funciones al revés, [$\forall a\in A.\exists ! b\in B. b f a $] de forma que   [$b=f(a) \Leftrightarrow b f a$]. Claro que también así vamos en contra de unos cuantos siglos de historia y habría que darle la vuelta a muchas definiciones como relaciones inyectivas.

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