jueves, 9 de junio de 2011

Exponenciando la derivación

Realmente para definir la exponencial (o cualquier otra función analítica) mediante una serie de potencias hacen falta pocas cosas.
  • Una operación de multiplicación por escalar
  • Una operación de suma
  • Una operación de potencia
Con estas tres operaciones podemos definir
[$$ e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $$]
Los operadores lineales cumplen todas estas condiciones tomando la potencia como composición iterada.
[$$f^0=Id;  f^{n+1}=f\circ f^n$$]
Un caso clásico es cuando las operaciones lineales están representadas por matrices.
Otro de estos operadores lineales es la derivación, que escribiremos [$D$]. Se puede realizar la exponencial de la derivación.
[$$e^D = \sum_{k=0}^\infty \frac{D^k}{k!} $$]
Para ver mejor sus efectos, aplicaremos el resultado de [$\alpha$] veces esta exponencial sobre [$x^n$].
[$$e^{\alpha D} x^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha^k D^k}{k!} x^n $$]
Podemos derivar hasta [$n$] veces [$x^n$]
[$$\sum_{k=0}^n \frac{n!  \alpha^k x^{n-k} }{k! (n-k)!}$$]
Es interesantísimo ver que lo obtenido es justamente el binomio de Newton.
[$$ \sum_{k=0}^n \frac{n!  \alpha^k x^{n-k} }{k! (n-k)!} = (x+\alpha)^n $$]
Debido a que estamos trabajando con operadores lineales, podemos volver a usar una serie de potencias para aplicar la exponencial de la derivación sobre una función analítica arbitraria.
[$$ (e^{\alpha D} f)(x) = e^{\alpha D} \sum_{i=0}^\infty {a_i x^i} =   \sum_{i=0}^\infty {a_i   e^{\alpha D} x^i} =  \sum_{i=0}^\infty {a_i  (x+\alpha)^i} = f(x+\alpha) $$]
Así que la exponencial de la derivación no es más que una traslación.
Los físicos me dicen que acabo de descubrir que el operador de momento genera las traslaciones. ¡Vaya! Pues no lo sabía.

2 comentarios:

helq dijo...

En vez de:
Podemos derivar n veces x^n

No sería mejor:
Derivamos k veces x^n

Gadelan dijo...

Hola helq.

La línea a la que creo que te refieres dice "Podemos derivar hasta n veces x^n" en el sentido de que derivar x^n más veces va a darnos cero (derivada de constante).

¿Para qué es útil esto? Para que mi sumatorio, que tenía como límite superior el infinito, tenga ahora un límite finito y se corresponda con el binomio de Newton.

El resto de cambios que hay en ese paso es simplemente hacer la derivada k-ésima (cuando k es menor o igual que n ya que hemos cambiado el límite superior).

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