Espacios proyectivos

 

Espacio Vectorial	Espacio Proyectivo
$\mathbb{R}^2$	$P(\mathbb{R})$
Los elementos de $\mathbb{R}^2$, en coordenadas cartesianas, son pares de números reales $(x,y)$ que representan puntos.	Los elementos de $P(\mathbb{R})$, en coordenadas homogéneas, son pares de números reales $(x,y)$ que representan rectas que pasan por el origen.
Dos puntos $P=(x,y)$ y $P'=(x',y')$ son iguales si y sólo si $$x=x',\ y=y'$$ y lo escribiremos $P=P'$.	Dos puntos $P=(x,y)$ y $P'=(x',y')$ están en la misma recta si y sólo si existe un $k\in\mathbb{R}$ tal que $$x=kx',\ y=ky'$$ y lo escribiremos $P\equiv P'$.
$$\mathbb{R}^2=\{(x,y)∣x,y\in\mathbb{R}\}$$	$$P(\mathbb{R})=(\mathbb{R}^2-\{(0,0)\})/\equiv$$ Si $x=y=0$ no tenemos una recta por eso se ha excluido el punto $(0,0)$ que no forma una recta.
Cada punto tiene dos grados de libertad, la abscisa $x$ y la ordenada $y$.	Cada recta sólo tiene un grado de libertad. La equivalencia entre rectas $\equiv$ le quita un grado de libertad a $(x,y)$ (precisamente, es el valor de $k$ que hemos de hallar).
Usar una matriz para transformar puntos en otros genera aplicaciones lineales. $$P'=AP$$	Usar una matriz para transformar rectas en otras genera colineaciones. $$P'≡AP$$ Es decir, existe un $k\in\mathbb{R}$ tal que $$P'=kAP$$
Una matriz tiene cuatro grados de libertad cuando representa una aplicación lineal.	Una matriz tiene tres grados de libertad cuando representa una colineación.
Si la matriz es regular (no singular, con determinante no nulo), la transformación lineal es invertible.	Si la matriz es regular, la colineación se denomina homografía y representa proyecciones cónicas.
Al ser invertible forma un grupo. Concretamente el $GL(2,\mathbb{R})$.	Al ser invertible forma un grupo. Concretamente el $PGL(2,\mathbb{R})$.
	Es posible y deseable normalizar los puntos. Una forma de hacerlo es elegir de cada recta el punto cuya última coordenada sea uno. En este caso $y=1$. Esto se consigue eligiendo $k$ adecuadamente. $$(x,y)≡k(x,y)=\frac{1}{y}(x,y)=(\frac{x}{y},1)$$
	Se comprueba con facilidad que esta normalización es una proyección perspectiva donde la línea $y=1$ es el plano de proyección.
Todo esto se puede extender a 3 dimensiones usando $\mathbb{R}^3$.	Todo esto se puede extender de proyectar en una línea en $P(\mathbb{R})$ a proyectar en un plano en $P^2(\mathbb{R})$. Este plano sería, por ejemplo, la pantalla del monitor o el CCD de una cámara.