La intuición tras la transformada de Laplace

Imaginemos que queremos hacer una derivada de una señal [$x(t)$].[$$\frac{d}{dt}x(t)$$] Las derivadas son operadores lineales. Eso quiere decir que si dividimos la señal en dos términos [$A_1 x_1(t)+A_2 x_2(t)$] tenemos [$$  \frac{d}{dt}x(t)=    A_1 \frac{d}{dt}x_1(t)  +  A_2 \frac{d}{dt}x_2(t)  $$] Ya que estamos, seamos astutos. Busquémonos unos términos que se deriven con facilidad. Por ejemplo, [$A e^{st}$]. Si estos fueran los términos, tendríamos [$$x(t)=A_1 e^{s_1t} + A_2 e^{s_2t}$$] y entonces  [$$  \frac{d}{dt}x(t)=    A_1 \frac{d}{dt}x_1(t)   +  A_2 \frac{d}{dt}x_2(t)  = A_1 s_1 e^{s_1t} + A_2 s_2 e^{s_2t} $$]Mucho más fácil.

Todo esto está muy bien; pero es raro que una señal sea suma de dos exponenciales (bueno, quizás no sea tan raro). Una opción es hacer la suma infinita, lo cual abarca muchas más señales. Sin embargo, la opción buena, buena, buena es que sea una suma de densidades. Una integral. [$$ x(t)=\int_C{A(s)e^{st}ds}$$] El único truquillo es que la amplitud depende de la constante [$s$] que usemos en la exponencial. El contorno de integración [$C$] no nos interesa ahora. Cuando este contorno existe es que la señal puede representarse así. A veces, no existe. Es decir, que tampoco abarcamos todas las señales posibles, pero sí muchísimas. Todas las de interés.

¿Qué pasa cuando derivamos la señal [$x(t)$] descompuesta como una integral de exponenciales? La integral es lineal, la derivada también, la variable de derivación no está relacionada con la variable del diferencial... Todo esto nos permite mover la derivada bajo el signo de la integral. [$$  \frac{d}{dt}x(t)=  \frac{d}{dt}\int_C{A(s)e^{st}ds} =   \int_C{ \frac{d}{dt} A(s)e^{st}ds}  $$] Y ya tenemos lo que queríamos, la derivada de una exponencial que es ella misma por la derivada de su exponente. [$$  \frac{d}{dt}x(t)=  \int_C{A(s)\ s\ e^{st}ds} $$] Buscando la similitud con   [$$ x(t)=\int_C{A(s)e^{st}ds}$$] es fácil ver que la derivada lo único que hace es multiplicar [$A(s)$] por [$s$]. ¡Mucho más fácil multiplicar que hacer la derivada!

Esa [$A(s)$] es casi la transformada de Laplace. Digo casi porque el contorno [$C$] introduce un factor de [$2\pi j$] que hay que compensar. Entonces, si llamo [$\mathcal{L}_{x(t)}(s)$] a la transformada de Laplace de [$x(t)$], tendré que    [$$ x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_C{ \mathcal{L} _{x(t)}(s)e^{st}ds}$$] Concretamente la expresión de arriba es la transformada inversa de Laplace. La transformada directa es más sencilla.   [$$   \mathcal{L}_{x(t)}(s)=\int_0^\infty{x(t)e^{-st}dt}$$]