Lo que nunca me enseñaron: Los filtros de Cauer (parte I)

Introducción

Según cuenta Van Valkenburg (ver "Analog Filter Design" 1982, página 379), sobre 1935 los ingenieros de Bell Laboratories se llevaron una desagradable sorpresa. Su competencia alemana había sacado un teléfono al mercado que igualaba la calidad de sonido del suyo, pero usaba un inductor menos en los filtros.
En 1935 los inductores no eran lo que hoy. Un inductor pesaba su cuarto de kilo y costaba bastante. El que los alemanes hubieran conseguido eliminarlo sin deteriorar las características del dispositivo podría llevar la empresa americana a la ruina y no era época para tonterías con los alemanes.

Teléfono de 1930

Pero esa ruina no ocurrió. El inventor del método de diseño que hacía capaz ese ahorro, Wilhelm Cauer, estaba necesitado de dinero (supongo) y quiso vender sus patentes. Para eso dio unas conferencias y los muy avispados matemáticos de Bell Laboratories tomaron nota. Una familia de funciones matemáticas se mencionó varias veces: las funciones elípticas de Jacobi.

Cuenta la leyenda que durante las dos semanas siguientes el departamento entero de matemáticas de Bell Laboratories se encerró en la biblioteca pública de Nueva York, estudiando tales funciones. Si mal no recuerda Darlington, que lo sufrió en sus propias carnes, allí encontró el artículo original de Jacobi de 1829 escrito en latín. En él estaba todo: tablas, transformaciones, aproximaciones… ¡todo!

A fin de cuentas, Cauer fue estudiante de Hilbert en Göttingen. Dada la prominencia del maestro, seguramente había visto de sobra estas funciones elípticas y, simplemente, les había encontrado otra aplicación. Por ese motivo, a este tipo de filtros se los denomina filtros elípticos o filtros de Cauer.

David Hilbert y Wilhelm Cauer

Los filtros

Un filtro eléctrico no es más que un dispositivo que toma una señal eléctrica como la del teléfono y elimina algunas frecuencias. De esta manera podemos oír la voz sin los ruidos raros del ADSL introduciendo un filtro que elimine las frecuencias que usa el ADSL. Lógicamente, podremos usar otro filtro para quedarnos con el ADSL y quitar la voz. Así que, por un mismo cable y gracias a un par de filtros, tengo voz y datos.

Splitter de ADSL que no es más que un filtro para que no se oiga el ruido de los datos de ADSL en el audio del teléfono.

Esta no es más que una de las aplicaciones de los filtros. Hay muchísimas más: multiplexar, eliminar el aliasing, hacer efectos de sonido y ecualizar, compensar desfases, modular, demodular… y un sinfín más que no vamos a enumerar aquí porque lo que nos interesa es el trasfondo teórico de los filtros.

La función de transferencia y la respuesta en frecuencia

La forma que tienen los filtros de procesar las señales es mediante una función de transferencia [$H(s)$]. Esta función está definida en los números complejos y, para que pueda ser construida físicamente, ha de ser racional (P y Q son polinomios). [$$H(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}$$] La magnitud de la función de transferencia en el eje imaginario es la respuesta en frecuencia. Esta respuesta es lo que nuestro filtro multiplicará a la amplitud cada frecuencia. Si su valor a una frecuencia es mayor que uno, esa frecuencia se amplifica. Si es menor que uno, se atenúa. Escribiremos esta magnitud así:[$$|H(j\omega)|$$] Donde [$\omega$] no es más que [$2\pi$] veces la frecuencia ([$\omega=2\pi f$]) para no tener que escribir [$2\pi$] cada vez que vayamos a usar un seno, coseno o exponencial compleja. La [$j$] es la constante imaginaria que, en ingeniería, se usa para no confundirla con la intensidad de corriente [$i$].

Es importante señalar aquí que para realizar el filtro necesitamos la función [$H(s)$] con [$s$] en todo el plano complejo, pero la respuesta en frecuencia que deseamos es sólo esa función en la recta imaginaria [$|H(j\omega)|\ \ $]. Gran parte del problema estriba en pasar de [$|H(j\omega)|\ \ $], lo que queremos, a [$H(s)$], cómo hacerlo.

Pero primero veamos qué queremos.

El filtro ideal y los filtros reales

Nos interesaría que la respuesta en frecuencia fuera ideal: todo lo que haya por encima de una frecuencia de corte [$\omega_c$] se elimina (se multiplica por 0 en la banda de rechazo) y todo lo que haya por debajo se preserva (se multiplica por 1 en la banda de paso). Eso significa que el [$|H(j\omega)|$] ideal tendría esta forma:

Un filtro ideal que elimina las frecuencias de la banda de rechazo y deja intactas las frecuencias de la banda de paso.

Sin embargo, esto no es posible porque las únicas funciones de transferencia que podemos realizar eléctricamente son funciones racionales (recordemos: cocientes de dos polinomios) y son funciones continuas excepto en asíntotas verticales. No es posible hacer el escalón discontinuo que vemos en la gráfica de arriba. Hay que transigir y permitir no tener exactamente un 1 o un 0 (a esto se le denomina rizado) y dejar una banda de transición entre las bandas de paso y de rechazo.

Forma de un filtro real donde se han especificado los requisitos del mismo: frecuencia de paso [$\omega_p$], frecuencia de rechazo [$\omega_s$], rizado de paso [$r_p$] y rizado de rechazo [$r_s$].

Ya no tenemos una frecuencia de corte, sino una frecuencia de paso [$\omega_p$] por debajo de la cual las frecuencias no se van a tocar mucho (entre [$1$] y [$r_p$]) y una frecuencia de rechazo [$\omega_s$] por encima de la cual no van a sobrevivir muchas frecuencias (como mucho se multiplica por [$r_s$] que será todo lo cercano a cero posible).

Nota: El subíndice s viene del inglés stopband.

Complicando para simplificar

Como vemos, todo el rango de trabajo está entre el [$0$] y el [$1$]. Si elevamos al cuadrado, seguimos estando entre [$0$] y [$1$]. Esto permite trabajar con la magnitud al cuadrado que es más sencilla de calcular y siempre es real positiva. [$$ |H(j\omega)|^2=H(j\omega) H^*(j\omega)=H(j \omega )H(-j \omega )$$] El asterisco indica complejo conjugado. La última igualdad saca provecho a que [$H(s)$] es racional con coeficientes reales y, por tanto, su parte imaginaria ha de ser hermítica.

Trabajar entre [$0$] e infinito es también más sencillo. ¿Por qué? Si el límite es el [$1$], nos podemos pasar de [$1$] y eso sería erróneo. Nos tendríamos que dedicar a comprobar que nuestros cálculos nunca superasen el uno y los complicaría. En cambio, si el límite es infinito, ¡no hay límite! Los cálculos no tienen necesidad de asegurar que haya un límite y se simplifican.

Forzaremos que la función [$|H(j\omega)|^2$] tenga esta forma: [$$ |H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+F^2 ( \omega )}$$]Ahora, la función [$F^2 ( \omega )$] no tiene límite superior. A cambio, hemos de recalcular los rizados.

La misma respuesta en frecuencia de antes, pero con la transformación mencionada para trabajar entre [$0$] e infinito. Hay que hacer notar cómo se han modificado los parámetros que especificaban los rizados.

Estos nuevos parámetros [$\epsilon_s$] y [$\epsilon_p$] se relacionan con los rizados originales así: [$$r_p=\sqrt{\frac{1}{1+\epsilon_p^2}},\ \ \ \ r_s=\sqrt{\frac{\epsilon_s^2}{1+ \epsilon _s^2}}$$] Llamaremos a [$\omega_p,\epsilon_p,\omega_s$] y [$\epsilon_s$] los requisitos del filtro.

Hay que destacar que la función [$F^2 (\omega)$] sigue siendo una función racional y deberá ser el cociente de dos polinomios.

Continúa en parte dos.